E001. Интеграл Лебега

Настоящий документ представляет собой Объяснение по поводу письма Решетняка к присяжным D006.5 с прикрепленным файлом jjjjjj.

Господа присяжные!

Возможно, не все из вас знают достаточно хорошо, что такое интеграл Лебега и мера Лебега, а Решетняк, как мы видим, не в состоянии (или не желает) эти вещи правильно разъяснить. Поэтому приходится мне здесь приводить такое разъяснение.

Дело в том, что существует хорошая и правильная теория интегрирования, которую математики обозначают словами «интегрирование по Риману». Эта теория имеет широчайшее применение на практике, при ее помощи рассчитывают полеты космических кораблей к Луне и к Марсу и т.д. и т.п. Упрощенное, но в корне верное представление о самой глубокой сущности этой теории может дать рисунок, взятый мной из википедической статьи «Мера Жордана»:

 

Синей линией здесь обозначена фигура, площадь которой нужно определить (при помощи интегрирования). Интегрирование состоит в том, что берется вписанная внутри фигура с прямыми углами («внутренняя мера»: зеленого цвета) и такая же фигура, описанная вокруг («внешняя мера»: красного цвета), и рассчитываются площади этих ломанных фигур, а потом обе они всё больше приближаются к синей кривой, а предел площадей обеих «мер» и есть интеграл – площадь, охваченная синей линией.

Всё это работает верно и надежно, пока синяя линия более менее четко очерчена. Но французскому математику Анри Леону Лебéгу (1875.06.28 – 1941.07.26) захотелось получить такой аппарат, который применим также и тогда, когда синяя линия размазана: одна точка здесь, а соседняя уже там. Такой аппарат он разработал в своей диссертации, потом в 1902–1903 учебном году в 27-летнем возрасте прочел 20 лекций в Collège de France, оплачиваемых семьей Пекко (Peccot), и издал эти лекции в качестве книги. Вторым изданием книга вышла в 1928 году, и с этого издания сделан русский перевод,[1] который я в этой статье далее обозначаю как «Книга Лебега».

Идеи Лебега рассмотрим на примере функции Дирихле, которую и он сам разбирает на стр.22 своей Книги. Он пишет: «Дирихле встретил случайно функцию

κ (x) = lim_m=∞ [ lim_n=∞ (cos m! π x) ²ⁿ],

все точки которой суть точки разрыва, ибо она равна нулю для иррационального x и равна 1 для x рационального».

Итак, функция κ (x) имеет значение 1 для рациональных x, и 0 для иррациональных. Если бы она имела значение 1 для всех x, то ее интеграл на интервале, например, (–1, 1) был бы равен 2 (прямоугольник длиной 2 и высотой 1). Но теперь вместо устойчивой верхней линии этого прямоугольника мы имеем «рассыпанную пыль»: повсюду разорванную «линию», где непрерывно чередуются 0 и 1. Как нам теперь оценить «площадь» этой «фигуры»? Какова может быть при этом руководящая идея?

В классической теории интегрирования («по Риману») эта функция интеграла не имеет. Но Лебег захотел интегрировать даже и такие функции, и в своей диссертации придумал для такого интегрирования свою собственную руководящую идею. Сам он эту идею излагает так на стр.95 своей Книги:

«Вот вопрос, который предстоит разрешить:

Мы ставим себе целью связать с каждым ограниченным множеством E, состоящим из точек оси Ox, некоторое число, положительное или равное нулю, m(E), которое мы называем мерой E и которое удовлетворяет следующим условиям:

1'. Два равных множества имеют одну и ту же меру.

2'. Множество, являющееся суммой конечного или счетного числа множеств попарно без общих точек, имеет своей мерой сумму мер слагаемых.

3'. Мера множества всех точек интервала (0, 1) равна единице».

 Пункт 2' этой программы действий как раз и есть то, про что Решетняк сказал в файле jjjjjj: «Главное свойство меры, которое делает ее эффективным инструментом исследования – ее полная или, как еще говорят, счетная аддитивность».

А теперь, господа присяжные, вдумайтесь в то, что делает Лебег!

С одной стороны, он объявляет (в 2'), что его Мера должна обладать «полной или счетной аддитивностью». При этом отсчет Меры начинается с точки, с единичного (рационального) числа, у которого «длина на числовой оси» нулевая, т.е. мера Лебега равна нулю. При требовании «полной аддитивности» это будет означать, что любое количество (конечное или бесконечное) таких точек всё равно будут иметь «общую длину», равную нулю.

А с другой стороны (в 3') он объявляет, что «Мера множества всех точек интервала (0, 1) равна единице». Откуда же возьмется эта единица в длине, если по предыдущему объявлению общая длина всех рациональных чисел в этом интервале равна нулю? Ну конечно, эта единица длины возьмется из иррациональных чисел!

Таким образом, Лебег создает свою конструкцию изначально так, чтобы суммарная длина рациональных чисел (их «мера Лебега») была в интервале (0, 1) нулевой, а суммарная длина иррациональных чисел была в этом же интервале равна 1. Это не берется ни из каких рассуждений и никак не доказывается. Это просто заложено в «техническом задании» на планируемую конструкцию.

Лебег даже не ссылается на Кантора и его теоремы; он всё это постулирует в своей конструкции совершенно самостоятельно. Его конструкция просто созвучна с идеями Кантора, но не более того. Логически она независима от канторизма.

Итак, что же сделал Лебег? Он к классической теории интегрирования («по Риману») добавил некоторую приставку, служащую для «интегрирования» таких функций, как функция Дирихле κ (x), а в качестве руководящей идеи при таком «интегрировании» взял положение, что сумма длин рациональных чисел на единичном интервале будет нулевая, а сумма длин иррациональных чисел будет единица. Вот и всё!

Ну, и тогда, естественно, получается, что «интеграл Лебега» на любом участке функции Дирихле равен нулю. Что в начале положили, то в конце и получили!

«По Риману» эта функция не имеет интеграла. «По Лебегу» же этот интеграл якобы рассчитан. Галочка поставлена: мол, теперь можем такие функции интегрировать!

В интегрируемом участке функция κ (x) имеет бесконечно много точек со значением κ (x) = 1, но интеграл у нее такой же, как если бы это была функция κ (x) = 0 для всех x.

Есть ли в этом интеграле какой-нибудь смысл? Да в общем-то никакого реального смысла в этом нет. «Интеграл Лебега» – это просто игрушка, добавленная к настоящей теории интегрирования («по Риману»). При расчете полета на Марс (и нигде в другом месте в технике и естествознании) нет необходимости интегрировать такие функции, как функция Дирихле, и пользоваться результатом, который в общем-то высосан из пальца (просто произвольно постулирован). Зато именно с этого места, из этого круга идей вырастают все эти «парадоксы» Хаусдорфа и Банаха и Тарского про образование из шара вдвое, и втрое, и сколько угодно раз большего шара и тому подобные (глупые) штучки.

Сам Лебег свою конструкцию в Предисловии к его Книге (стр.3–4) оправдывает так:

«Правда, может возникнуть вопрос, интересно ли заниматься такими усложнениями и не лучше ли ограничиться изучением функций, требующих лишь простых определений. Это, однако, имеет преимущества лишь в элементарном курсе. Если же, как будет видно из этих лекций, мы решили бы всегда ограничиваться рассмотрением таких хороших функций, то нам пришлось бы отказаться от решения многих давно уже поставленных и весьма просто формулируемых проблем. Именно для решения этих проблем, а не из любви к усложнениям, я ввел в этой книге определение интеграла более общее, чем римановское, и содержащее это последнее как частный случай.

Я полагаю, что внимательный читатель, сожалея, быть может, что вещи не так просты, согласится, однако, со мной, что это определение необходимо и естественно. Я позволю себе сказать, что в некотором смысле оно проще римановского, схватывается так же легко, и лишь ранее установившиеся привычки мысли могут нас заставить считать его более сложным. Оно потому проще, что делает очевидными наиболее важные свойства интеграла, тогда как определение Римана (Riemann) делает очевидным лишь процесс вычисления. Именно поэтому почти всегда бывает так же легко, а иногда даже и легче, с помощью общего определения интеграла доказать некоторое свойство, принадлежащее всем функциям, к которым это определение применяется, т.е. всем суммируемым функциям, чем доказать то же для одних только интегрируемых функций, опираясь на определение Римана. Поэтому, даже если интересоваться результатами, касающимися лишь простых функций, то всё же полезно знать понятие суммируемой функции, так как оно даст быстрые процессы доказательства».

 Можно согласиться, что игрушка Лебега имеет определенную логическую красоту (игрушки тоже могут быть красивыми). Но она всё равно остается только игрушкой, а не достоверным научным знанием. Ее место в здании научного знания можно проиллюстрировать таким примером. Вот, кто-то пишет очерк о стране, которую посетил. В очерке он рассказывает, что видел сам, что узнал из разных источников. Но рассказ получается каким-то неполным и не удовлетворяет автора, потому что некоторых вещей он не знает: не видел и не читал, и нет у него сведений об этом. И тогда автор берет и просто досочиняет недостающее сам. Теперь рассказ полный, блестящий, красивый, исчерпывающий! (Только кое-что в нем просто сказка). Точно так же обстоит дело и с «современной теорией интегрирования». Теперь она «полна», красива, совершенна (да только некоторые вещи в ней являются вымышленной сказкой).

В файле jjjjjj Решетняк процитировал мои слова (они из МОИ № 25, стр.28):

«Ваше мнение, будто теория функций вещественной переменной основывается на канторизме (а не на квантуализме) – это просто легенда, порожденная неразберихой, вообще свойственной для современной математики. Ни Вы, ни кто другой ведь никогда этот вопрос не исследовали. А Вы поручите какому-нибудь молодому аспиранту в его кандидатской диссертации исследовать вопрос, что произойдет с математикой, если из нее выбросить постулат о том, что континуум имеет большую мощность, чем счетное множество! Ха-ха-ха! Держу пари на что угодно, что и теория функций вещественной переменной и все другие разделы математики («теория» трансфинитных чисел – это не математика) прекрасно обойдутся без этого постулата и только станут еще красивее! (Никакая полезная наука не может опираться, стоять на мифологических постулатах)».

Слова абсолютно правильные. Математикам давно пора разобраться, что в их науке есть легенды и выдумки, а что – достоверная истина. В том числе и с интегралом Лебега (который, разумеется, никоим образом не может быть доводом в пользу канторизма). От прояснения этих вещей математика только выиграет и станет красивее, и Решетняк, если бы он на самом деле был бы ученым, должен был этому способствовать, а не с тупой злобой носорога пытаться всё затоптать и забодать.

Свое выступление Решетняк завершает словами:

«Если принять позицию Ипатьевой, то вся современная теория интеграла должна быть объявлена лженаукой, как и все те математические теории, так или иначе опирающиеся на нее».

 На самом деле настоящая и повсюду в науке работающая теория интеграла («по Риману») ничуть не страдает от «принятия позиции Ипатьевой». А что касается пристройки к ней от Лебега, то это не лженаука, а просто логическая игрушка, которая основывается не на канторизме (хоть и созвучна ему), а на собственных постулатах, положенных Лебегом в основу его конструкции, и поэтому она не может быть использована при анализе канторизма как доказательство в его пользу.

---

[1] А. Лебег. Интегрирование и отыскание примитивных функций. Перевод и редакция проф. Н.К. Бари. Дополнительные статьи акад. Н.Н. Лузина. Государственное технико-теоретическое издательство. Москва – Ленинград, 1934. Перевод с: Henri Lebesgue. Leçons sur l’integration et la recherche des fonctions primitives. Deuxième edition. Gauthier-Villars, Paris, 1928.