E007. Положение в математике

Настоящий документ представляет собой Объяснение по поводу письма Решетняка к присяжным D006.6 с прикрепленным файлом lelele.

Господа присяжные!

Чтобы правильно понять и оценить названный документ Решетняка, необходимо знать общее положение в математике.

Первые письменные математические тексты (примеры решения задач), относятся к началу II тысячелетия до н.э. и принадлежат шумерской, египетской и вавилонской цивилизациям. Поэтому здесь будем считать, что математика имеет историю длиной в 4 тысячи лет.

За эти четыре тысячи лет математика развивалась всё ускоряющимися темпами, но она развивалась в весьма специфических условиях: никто толком не знал, что, собственно, она изучает, каков ее предмет. Видели, конечно, что всё начинается со счета предметов или там с нарисованной на песке окружности, но этого было совершенно недостаточно для объяснения сущности и предмета математики, когда речь идет о таких чрезвычайно «абстрактных» вещах, как, например, пространство Лобачевского или теория интеграла.

Большая Советская энциклопедия (1974), следуя за Энгельсом, определяет математику так: «наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира».

Википедия сегодня дает такое определение:

«Наука о структурах, порядке и отношениях, которая исторически сложилась на основе операций подсчета, измерения и описания формы объектов. Математические объекты создаются путем идеализации свойств реальных или других математических объектов и записи этих свойств на формальном языке».

 Но все сколь-нибудь глубокие мыслители видели, что все эти определения недостаточны и в них не хватает чего-то существенного. Что такое «структуры» (математические), откуда они берутся и что из себя представляют? Что такое «идеализация», КАК она осуществляется?

Та же Википедия дальше цитирует слова Германа Вейля, сказанные в 1944 году:

«Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счете математика, остается открытым. Мы не знаем какого-то направления, которое позволит в конце концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что подобный «окончательный» ответ будет когда-нибудь получен и признан всеми математиками. «Математизирование» может остаться одним из проявлений творческой деятельности человека, подобно музицированию или литературному творчеству, ярким и самобытным, но прогнозирование его исторических судеб не поддается рационализации и не может быть объективным».

 Книга американского математика Морриса Клайна «Математика: Утрата определенности», занимающая у меня выпуски МОИ № 20 и №21, есть один непрерывный вопль о странности и непонятности истинной природы математики, и там цитируются десятки или даже сотни других авторов, которые тоже удивляются или даже возмущаются той таинственностью, которой окутана природа математики.

Словом, в той концепции математики, которая в мире доминирует сейчас, после 4-х тысяч лет исторического пути, явно не достает чего-то существенного, чего-то фундаментального. Фактически можно утверждать, что ни один математик на свете, в том числе и Решетняк, НЕ ЗНАЕТ, что такое математика. Никакой удовлетворительной концепции математики у них нет. Четыре тысячи лет они изучали «то, не знаю, что». При этом были достигнуты весьма замечательные успехи, тем не менее предметом математики оставалось «то, не знаю что».

Валдис Эгле не задавался целью обосновать математику. Но, проектируя принципиальное устройство информатической интеллектуальной системы, он в 1978 году увидел, что все непонятности предмета математики исчезают, если в обиход концепции математики ввести один объект, который раньше никем не рассматривался на протяжении 4-х тысяч лет, а именно: программы (мозговые программы) и их продукты. Тогда таинственные и непонятные до того «структуры» превращаются в потенциальные продукты этих программ – вещь совершенно заурядную для всякого программиста; «идеализация» есть замена материального объекта потенциальным продуктом программы, и т.д. Всё моментально становится на свои места, и всякая таинственность исчезает. Так родилась Веданская теория.

С одной стороны, трудно даже понять, как математики (особенно после изобретения компьютеров в середине XX века) могли сами об этом не догадаться: ведь математика буквально насыщена всевозможными «процессами» (которые и есть отработка программ). С другой стороны, то чудовищное, просто бешеное сопротивление, которое Веданская теория встретила со стороны математиков, показывает, что, несмотря на свою простоту и очевидность, эта идея для многих недоступна. И уж, несомненно, она обладает для математики такой же фундаментальностью, как для космологии идея Коперника о том, что не Земля стоит в центре вселенной, а Солнце, или для биологии идея Дарвина о том, что виды изменяются путем естественного отбора.

Таким образом, Веданская теория дала математике точное определение ее предмета, которого ей не доставало на всем ее пути через 4 тысячелетия. Это определение было настолько точным, что теперь есть принципиальная возможность построения искусственного математика-робота (о чем не могло быть и речи, пока предмет математики описывался расплывчатыми словами типа «структуры», «идеализация» и т.п.).

Точное определение предмета математики дало возможность (и поставило необходимость) переосмыслить то, что математикой было наработано за 4 тысячи лет БЕЗ точного понимания ее предмета. Оказалось, что всё, что математика наработала приблизительно до 1870-х годов, полностью и стопроцентно согласуется с программистской концепцией математики – а это очень много: и функции, и логарифмы, и дифференциально-интегральное исчисление, и многое другое. Всё это время математики (сами того не ведая) изучали мозговые программы – и изучали их хорошо и правильно.

А вот с 1870-х годов начался сбой. Он шел по двум главным направлениям: во-первых, Кантор с его «теорией множеств» и, во-вторых, «аксиоматизация и формализация». Математики ПЕРЕСТАЛИ изучать мозговые программы, или, точнее, они стали к изучению мозговых программ ПРИМЕШИВАТЬ простые фантазии. В результате современная математика, которую так расхваливает Решетняк, представляет собой удивительную смесь достоверных знаний о потенциальных продуктах мозговых программ с фантазиями о «несчетных множествах» и подобных кентаврах.

Мир фантазий может быть очень богат и красив. Греки создали феерическую мифологию, отблеск которой пролился на мой недавний выпуск МОИ № 33. Современная моледежь половину жизни (а то и больше) проводит в мире компьютерных игр. Чего там только нет: и целые города, и страны, и планеты, и неведомые существа, и свои законы. Теория всех этих вещей ничуть не отстанет по богатству и красоте от теорий Кантора и Лебега, Канторовича и Соболева.

И премии всевозможные можно друг другу присваивать в области как компьютерных, так и в области математических игр – и это никакой не показатель.

Но если мы всё-таки хотим отделить Науку от фантазий, то для этого есть только один критерий: всё, что может быть выведено из мозговых программ – это наука. Всё, что не может быть из них выведено – это фантазии, ровня компьютерным играм с их мирами.

А канторовская «теория множеств» из мозговых программ выведена быть не может. Это первая мифологическая сказка, включенная в состав «современной науки математики». Когда Анри Лебег создавал свой интеграл (в самом начале XX века), канторовская «теория» вовсе не была общепризнана. Наоборот, она встречала сильное сопротивление у математиков, и многие выдающиеся математики, среди которых моему сердцу симпатичнее всего другой Анри – Анри Пуанкаре –, отвергали ее категорически. И теория Лебега сыграла пагубную роль в том, что учение Кантора всё-таки было «признано» и включено в состав математики. Теория Лебега была такой красивой, и всё так гладко в ней получалось, и все концы с концами так хорошо сходились, что со временем почти все поверили, что это не сказка, а реальность, – и вместе с ней, что реальность также и канторовская «теория множеств».

Как уже было сказано, так называемая «современная математика» представляет собой смесь реальных сведений со сказками. Такой смесью является и теория Лебега. Я не берусь сейчас точно определить, где в ней проходит граница между реальностью и сказками. Что-то, наверное, в ней правильно, и она до некоторой степени может успешно работать. А то, что «мера» рациональных чисел в промежутке [0, 1] равна 0, а иррациональных равна 1, – это, разумеется, чистая сказка, т.е. просто постулировано и ниоткуда не вытекает. Решетняк попытался это опровергнуть в такой тираде:

Мадам, теперь понятно откуда у гражданки эглеипатьевой представления о том, что математики не доказывают, а только постулируют. От лени все это происходит, гражданочка, от лени. Лень мозговыми программами маленько пошевелить. Наткнувшись на малейшее препятствие при чтении математического текстов некоторые начинают вопить – это ни откуда не следует, это постулат В рассматриваемом здесь случае все очень просто. Пусть A всех множество всех рациональных чисел из промежутка [0, 1], B – множество всех иррациональных чисел из того же промежутка. Множества A и B не пересекаются и их объединение есть промежуток [0, 1]. Значит, 1 = мера([0, 1]) = мера(A) + мера(B) Так как мера(A) = 0, то отсюда получаем, что мера(B) = 1 и вопрос исчерпан, никакого постулирования и близко не было.

 Козлик ты наш! То, что 1 – 0 = 1, мы как-нибудь и без тебя знаем. Но откуда ты взял, что «мера(A) = 0»? Объяснить ЭТО тебе в твою головку не пришло? Разумеется, что в конечном счете это просто постулировано, и не вытекает оно ни из каких вещей реального мира.

Решетняк ёрничает, изобретает корявые слова (типа «Эглниатика» в теме этого письма), коверкает фамилии, называет меня «Мариной Телеговной» и т.д. Это уровень сопливого шестиклассника, который в школьном туалете пишет на стене XY и заваленную на бок Z. Вот, такие в России нынче академики и защитники «современной математики».

Марина Ипатьева

9 января 2016 года